\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{18}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\conjug}[1]{#1^*}
\DeclareMathOperator{\Rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents

  \section{Уровни энергии одномерного гармонического осциллятора.}
  \subsection{Матричный подход.}
    Гармонический осциллятор в квантовой механике определяется как частица, движущаяся
    в поле
    \begin{align*}
      U(x) = \frac{m\omega^2}{2}x^2.
    \end{align*}
    Так как при \(x \to \pm\infty\) \(U(x)\) обращается в бесконечность, это
    движение финитно, и энергетический спектр получается дискретным. Найдём его
    при помощи матричного метода.

    В обычном представлении с волновыми функциями стационарных состояний в качестве
    \(\psi_n\) матрица гамильтониана диагональна, причём на её диагонали находятся
    собственные значения энергии: \(H_{nn} = E_n\). То есть, нам нужно найти матрицу
    оператора Гамильтона
    \begin{align*}
      \hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}\hat{\vec{x}}^2.
    \end{align*}
    
    Для этого воспользуемся операторным уравнением Ньютона. Сначала используем
    его в виде \(m\hat{\vec{v}} = \hat{\vec{p}}\), чтобы привести гамильтониан
    к виду, который для нас потом окажется более удобным:
    \begin{align*}
      \hat{H} = \frac{m}{2}\left( \hat{\vec{v}}^2 + \omega^2\hat{\vec{x}}^2 \right).
    \end{align*}

    Теперь применим его в другом виде:
    \begin{equation*}
      m\hat{\dot{\vec{v}}} = -\nabla{U}.
    \end{equation*}
    Подставим сюда выражение \(U(x) = \frac{m\omega^2}{2}\hat{\vec{x}}^2\). Сначала
    найдём \(\nabla{U}\):
    \begin{align*}
      \nabla{U} = \frac{m}{2}\omega^2\nabla{x^2} = \frac{m}{2}\omega^2\frac{\partial}{\partial x}x^2 = m\omega^2 x.
    \end{align*}
    Подставим результат в уравнение Ньютона и, сократив на \(m\), получим
    операторное уравнение движения:
    \begin{equation}
      \hat{\ddot{\vec{x}}} + \omega^2\hat{\vec{x}} = 0.
      \label{eq:Oscillator}
    \end{equation}
    В матричном виде это будет выглядеть как
    \begin{equation}
      (\ddot{x})_{mn} + \omega^2x_{mn} = 0.
      \label{eq:OscillatorMatrix}
    \end{equation}

    Вторую производную от матрицы вычислим согласно правилу дифференцирования
    матриц по времени 
    \begin{equation*}
      \left( \dot{f}(t) \right)_{mn} = i\omega_{mn} f_{nm}(t).
    \end{equation*}
    Получим
    \begin{align*}
      (\ddot{x})_{mn} = i\omega_{mn}(\dot{x})_{mn} = -\omega_{mn}^2x_{mn}.
    \end{align*}
    Таким образом, уравнение \eqref{eq:OscillatorMatrix} преобразуется в следующее:
    \begin{equation}
      \left( \omega^2_{mn} - \omega^2 \right)x_{mn} = 0.
    \label{eq:OmegaMatrix}
    \end{equation}
    Отсюда видно, что нулю не равны только те элементы матрицы \(x_{mn}\), для
    которых верно \(\omega_{mn} = \pm \omega\). Напомним, что по смыслу \(\omega_{mn}\)
    есть \emph{частота перехода} между уровнями \(m\) и \(n\).

    Стационарные состояния мы имеем право пронумеровать так, как нам удобно.
    Выберем такую их нумерацию, чтобы переход с частотой \(\pm\omega\) происходил
    между <<соседними>> уровнями, то есть, с \(n\) на \(n \pm 1\). Порядок выберем
    такой, чтобы положительная частота соответствовала переходу на нижний уровень:
    \begin{align*}
      \text{ частота } +\omega &\text{ соответствует переходу } n \to n - 1, \\
      \text{ частота } -\omega &\text{ соответствует переходу } n \to n + 1.
    \end{align*}
    Таким образом получается, что \(\omega_{n, n\mp 1} = \pm \omega\). Соответственно,
    лишь элементы \(x_{n,n\mp 1}\) матрицы \(x_{mn}\) отличны от нуля.

    Волновые функции \(\psi_n\) будем считать вещественными. \(x\) ---
    вещественная величина, значит, матрица \(x_{mn}\) эрмитова, а также, с
    учётом нашего предположения, вещественна, а значит, она симметрична:
    \begin{equation*}
      x_{mn} = x_{nm}.
    \end{equation*}
    Это позволяет нам менять местами индексы когда удобно. Матрица \(\omega_{mn}\) же
    является антисимметричной:
    \begin{align*}
      \omega_{mn} = -\omega_{nm}.
    \end{align*}
    Этим мы тоже будем пользоваться.

    Найдём, чему равны отличные от нуля её элементы. Для этого воспользуемся
    известным правилом коммутации
    \begin{equation*}
      \hat{p}_x\hat{x} - \hat{x}\hat{p_x} = -i\hbar,
    \end{equation*}
    переписав его сначала в виде
    \begin{equation*}
      \hat{\dot{x}}\hat{x} - \hat{x}\hat{\dot{x}} = -i\frac{\hbar}{m},
    \end{equation*}
    а затем в матричном виде, с учётом того, что матрица умножения на скаляр,
    очевидно, имеет вид \(\alpha\delta_{nm}\):
    \begin{equation*}
      \left( \dot{x}x \right)_{mn} - \left( x\dot{x} \right)_{mn} = -i\frac{\hbar}{m}\delta_{mn}.
    \end{equation*}
    Сюда подставим \((\dot{x})_{mn} = i\omega_{mn}x_{mn}\) и распишем произведения:
    \begin{equation*}
      i\sum_{l}\omega_{nl}x_{nl}x_{ln} - i\sum_l x_{nl}\omega_{ln}x_{ln} = 2i\sum_l \omega_{nl}x^2_{nl} = -i\frac{\hbar}{m}.
    \end{equation*}
    Теперь воспользуемся тем, что не равны нулю только \(x_{n,n\mp 1}\), и получим
    \begin{equation*}
      -2i\omega x_{n,n+1}^2 + 2i\omega x_{n,n-1}^2 = -i\frac{\hbar}{m},
    \end{equation*}
    или же,
    \begin{equation*}
      x_{n+1, n}^2 = x_{n,n-1}^2 + \frac{\hbar}{2m\omega}.
    \end{equation*}

    Отсюда видно, что величины \(x_{n,n+1}^2\) образуют арифметическую прогрессию
    с разностью \(\frac{\hbar}{2m\omega}\). Так как мы зафиксировали только относительную
    нумерацию, начало её мы всё ещё имеем право выбирать. Выберем его таким, что
    \begin{equation*}
      x_{0, -1}^2 = 0.
    \end{equation*}
    Тогда последовательность будет иметь вид
    \begin{equation*}
      x_{n, n-1}^2 = \frac{n\hbar}{2m\omega}.
    \end{equation*}
    
    В итоге для ненулевых матричных элементов мы имеем выражение:
    \begin{equation}
      x_{n, n-1} = x_{n - 1, n} = \sqrt{\frac{n\hbar}{2m\omega}}.
    \label{eq:MatrixX}
    \end{equation}

    Теперь, наконец, можем вычислить матрицу гамильтониана:
    \begin{align*}
      H_{nn} = \frac{m}{2}\left((\dot{x}^2)_{nn} + \omega^2(x^2)_{nn} \right) &=
      \frac{m}{2}\left( \sum_l i\omega_{nl}x_{nl}i\omega_{ln}x_{ln} + \omega^2\sum_l x_{nl}x_{ln} \right) =\\
      &= \frac{m}{2}\sum_l \left(\omega^2 + \omega_{nl}^2\right)x^2_{nl}.
    \end{align*}
    От нуля отличны только члены, для которых \(l = n\pm 1\):
    \begin{align*}
      H_{nn} &= \frac{m}{2}\left( (\omega^2 + \omega^2_{n,n+1})x_{n,n+1} + (\omega^2 + \omega^2_{n,n-1})x_{n,n-1} \right)=\\
      &= \frac{m}{2}\cdot2\omega^2\left(\frac{(n + 1)\hbar}{2m\omega} + \frac{n\hbar}{2m\omega}\right) =\\
      &= \hbar\omega\left( n + \frac{1}{2} \right) = E_n.
    \end{align*}

    В итоге получился энергетический спектр гармонического осциллятора:
    \begin{equation}
      E_n = \hbar\omega\left( n + \frac{1}{2} \right), \qquad n = 0, 1, 2, \dots
    \label{eq:HarmonicSpectra}
    \end{equation}
  \subsection{Решение уравнения Шрёдингера для гармонического осциллятора.}

\end{document}
